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진동의 기초

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피스톤운동

[그림 1]은 반경 α인 원판이 중심 ○ 주위를 회전하고 있고, 중심으로부터 α인 원주 상의 1점에 핀 P를 부착하여, 핀이 왕복축과 일체로 된 홈(slot)에 들어있는 피스톤 운동장치의 모델이다.
원판이 일정 속도로 회전하면, P의 회전과 함께 홈은 상하로, 왕복축은 수평 방향인 X축상을 - α에서 α까지 이동한다.
여기서 회전하는 원판의 각속도를 ∏㎭/s로 하고, 왕복축의 우측 맨 끝단에 위치한 핀 P가 X축상의 α점으로부터 반시계방향으로 회전을 시작하여, t초 후에 q 라디안 ( = at ) 의 위치에 올 때 중심 ○ 로부터의 거리 x를 알기 위해, 왕복축의 선단 T에 펜을 부착해서 기록지를 주행시키면, [그림 1]의 우측과 같은 그림을 그릴 수 있다.
[그림1] 회전원판위에 핀 P에 의해 이동하는 왕복축의 운동
우측 그림 상의 중심선 O-O는 원판의 Y-Y축을 사이에 두고 왕복축의 이동거리 는 크게 되었다가 작게 되었다가를 반복하는 것이 된다. 이와 같은 운동을 피스톤운동 이라 한다.
이 이동거리 는 중심 O에서 핀 P까지의 거리 OP를 X축상으로 투영한 길이이므로 아래와 같이 된다.
x=O에서 P까지의 거리*cosθ

(식1)

또,O에서 P까지의 거리는 α와 같기 때문에 식(1)은 다음과 같이 쓸 수 있다
x=αcosθ

(식2)

이것에 의해 [그림 1] 의 우측 T점이 그린 그림은 삼각함수 cosθ를 a 배한 그림이다.
다음으로, 핀 P가 X축의 a 점에서 출발해서 1회전하고, 다시 a 점으로 되돌아 오는 것을 사이클(cycle) 이라고 하고, 1사이클에 필요한 시간 T(s) 는(원의 1회전시 각도변화는 360도, 즉 2π = rad이므로) 2π = rad을 회전각속도 ω rad/s로 나누면 다음과 같이 되고, T를 주기(period) 라고 한다.
T=2π/ω(s)

(식3)

역으로 2π rad(=360°)을 회전하면 1사이클이 되므로, 회전각속도를 w로 나누면 1초당의 사이클수가 된다.
이것을 초당 사이클 수 f cps (cycle per second)라 하고 다음과 같이 된다.
f=ω/2π(cps)

(식4)

또 식(3)과 (4)에 의해, 주기 T(s)와 사이클 수 f (cps)와는 다음의 관계가 있다.
f=1/T, T=1/f

(식5)

조화진동(단순진동)

[그림 2]와 같이 코일스프링을 천장에 매달고, 그 끝에 추를 단다.
추를 달게 되면 스프링은 약간 늘어나고 임의의 위치에서 평형을 이룬다.
그 위치를 [그림 2] 와 같이 R이라 하고, R에서 추를 P까지 잡아당긴 후 가만히 손을 놓으면, 추는 위를 향하여 최초의 평형위치 R을 지나서 길이 PR과 같은 RQ가 되는 Q까지 상승하여, 다시 방향을 바꾸어 P로 하향운동을 하고, 다시 Q로 향하는 반복운동을 수행한다.
실제로는 공기의 저항이나 스프링 재료의 내부마찰에 의해서 P와 Q의 직전까지 밖에는 운동할 수 없고, 결국 R부근에서 상하로 움직이고, 최후에는 R에서 정지한다.
이와 같이 어떤 점을 기준으로 해서, 크게 되었다가 작게됨을 서로 반복하는 운동을 진동(vibration) 이라고 한다.

[그림2] 스프링, 질량계

위와 같은 저항이나 내부마찰이 없는 이상적인 상태를 설정하고, 이 추의 운동을 구하기 위해서 추의 중심에 연필을 달아서 기록지를 이동시키면 [그림 3] 과 같은 곡선이 기록된다.
이 곡선의 횡축은 시간, 종축은 평형점으로부터의 거리이고, 곡선의 형태는 [그림 1] 의 피스톤 운동과 같다.
평형점으로부터의 거리 x, 최초의 늘어난 길이를 a 로 하면, x 는 다음과 같이 되는 것으로 가정할 수 있다.
x=αcosωt

(식6)

윗 식에서 a 는 이 진동의 운동폭으로, 진폭(amplitude) 이라고 한다.
더욱이 피스톤 운동일 때, 식(6)의 ω는 핀의 회전 각속도였던 것에 비해, 이 경우는 코일 스프링의 스프링 정수를 k(N/m), 추의 질량을 m(㎏)이라 하면, ω는 다음과 같이 된다.

(식7)

이것은 공학적인 각도인 라디안(radian)을 시간으로 나눈 것으로, 고유각 진동수(natural angular frequency)라고 하고,
통상은 고유진동수(natural frequency) 라 한다.
식(6)으로 표현된 진동은 [그림 1] 이나 [그림 3] 으로 나타낸 것과 같이, 임의 시간 후에는 원래의 위치로 돌아온다.
바꾸어 말하면, 평형점으로부터의 거리는 주기적으로 되고 있으며, 이와 같은 성질을 가지는 진동을 주기진동(periodic vibration) 이라 한다.
식(6)의 주기진동에서 1주기에 필요한 시간(라디안은 원호의 길이를 반경으로 나눈 값으로 반경 a인 원의 1주 각도 360°는 원호의 길이가, 반경은 a 이므로 2π 라디안 이 된다.)은 2π 라디안을 ω (rad/s)로 나누면 되고, 이것을 주기(period)라고 한다.
T=2π/ω

(식8)

단위시간(1초간)에 추가 최초에 인장된 점으로 돌아오는 횟수는 w (rad/s)를 로 나누면 되고, 이것을 진동수 또는 진동주파수(frequency)라 하여 x = αcos2πft 로 표시하고 단위는 Hz(헤르쯔) 를 사용한다.
f=ω/2π

(식9)

식(9)로부터 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(식10)

따라서, 식(7)은 다음과 같이 되고, 이 f 를 고유진동수(natural frequency)라고 한다.

(식11)

이 f 를 사용하면 식(4)는 다음과 같이 된다.

(식12)

식(12)는 진동수가 하나인 진동을 표시하는 식으로, 단순조화진동(simple harmonic motion) 또는 조화진동(harmonic vibration) 이라 한다.
식(8)과 (9)로부터 진동수 (Hz)와 주기 T (s) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

(식13)

이것은 피스톤 운동의 식과 같고, 추의 진동과 일정 반경을 일정 각속도로 회전하는 핀에 의해서 움직이는 축의 운동은 같은 식으로 표현된다.

변위, 속도 및 가속도

  • 변위, 속도 및 가속도진폭
    식(6)과 (12)로 표시되는 진동체가 있을 때, 기준점으로부터의 거리 x는 물체의 변위량을 표시하고 있으므로, 이 두 식을 변위(displacement)의 식이라고 한다.
    변위 =
    물체가 움직이면, 속도(velocity)나 가속도(acceleration)를 가진다. 속도는 변위의 식을 1번, 가속도는 2번 미분하면 얻어진다.
    속도 =

    (식14)

    가속도 =

    (식15)

    여기서 진동의 크기를 고려할 때, 변위의 경우는 물체가 이동한 전체 변위량을 고려하고, 이는 - a 에서 a 까지 즉 2a 이고, 이것을 양진폭(peak to peak amplitude)이라 하고 D 로 표시한다.
    또, 속도와 가속도는 최대치를 사용하고 이를 편진폭(peak amplitude)이라 하여, 각각을 V 와 G 로 표현하면 D , V 및 G 는 다음과 같이 된다.

    (식16)

    위에 표시한 D, V, G 를 변위진폭, 속도진폭 및 가속도진폭이라 하고, 통상은 변위, 속도, 가속도로 표현하고 있다.
    변위, 속도 및 가속도의 단위를 각각 ㎛, ㎚/s, g(=9800㎚/s²)로 하면, 식(16)에 의해 다음과 같이 표현된다.

    (식17)

    식(17)에 의해 단진동이 발생한 경우 D, V, G 와 중 2개의 값을 알면, 나머지 2개의 값을 식(17)으로 구할 수 있다.
  • 변위, 속도 및 가속도영역
    식(16)로부터, 다음 2가지 중요한 사실을 알 수 있다.
    Check Point

    1. 속도는 변위 x 진동수에 비례한다.

    2. 가속도는 변위 x (진동수)2 에 비례한다.
    이것은 변위가 같다면, 진동수가 높을수록 속도와 가속도의 값이 크게 되는 것을 나타내고 있다.

    이제, 여기서 2개의 단순진동 A와 B가 있다고 한다.
    A : 진동수f (㎐), 변위D (㎛)
    B : 진동수 n × f (㎐), 변위 r ×D (㎛)
    각각의 진동수와 변위가 다음과 같을 때의 속도와 가속도는 먼저 주파수 f (Hz)에서의 속도, 가속도는 2πfD이고, nf (Hz)에서의 속도, 가속도는 2πnfrD, (2πnfr)D² 로 된다. 이것에 의해 진동수 f (Hz)와 nf (Hz)의 변위, 속도 및 가속도의 진폭비는 r, nr, n²으로 된다 (표 1).
    예를 들어, 표 1에서
    A : 진동수f = 10㎐, 변위진폭D = 10㎛
    B : 진동수f = 100㎐, 변위진폭D = 1㎛
    로 하면, r = 0.1, n = 10 이기 때문에, 표 2 및 [그림 4] 와 같이 된다.
    표 1. 변위, 속도 및 가속도진폭의 관계
    A B 진폭비 B/A
    변위진폭 D r-RD r
    속도진폭 nr
    가속도진폭 n2r
    표 2. A와 B의 진동비교
    A B 진폭비 B/A
    변위진폭(㎛) 10 1 r = 0.1
    속도진폭(㎚/s) 0.31 0.31 nr = 1
    가속도진폭(g) 0.002 0.02 n2r = 10
    이것에 의해 A와 B에서, 변위진폭 B는 1㎛ 로 A의 1/10이지만, 속도진폭은 A와 같이 되고, 가속도 진폭에서는 A보다 10배 큰 값을 나타내고 있는 것을 알 수 있다.

    [그림4] A 와 B 의 비교

    Check Point
    이것은 변위가 낮아도 진동수가 높게 되면 속도나 가속도가 높은 진폭을 나타내므로, 높은 진동수에서 이상요인이 있다면, 속도나 가속도로 측정하면, 이상의 검출이 가능하다고 할 수 있다.
    역으로, 낮은 진동수에서는 속도나 가속도보다 변위 쪽이 뛰어나다고 할 수 있다.
    이러한 것으로부터 경험적으로 [그림 5] 와 같이 진동수에 대해서 변위, 속도 및 가속도 진폭의 크기를 나타내고 있고, 진폭의 감도가 좋은 영역을 나누어서, 10Hz 정도까지를 변위영역, 10∼1000Hz 를 속도영역, 1000Hz 이상을 가속도영역이라고 부르고 있다.
    이 구분은 설비진단에서는 아주 중요하다.

    [그림5] 변위, 속도 및 가속도 진폭의 영역

동기운동과 위상차

천정으로부터 같은 강도의 스프링을 2개를 매달고, 각각에 같은 무게의 추를 달아 어느 한쪽을 먼저 잡아당긴 후 손을 놓고, 다음에 다른 추를 잡아당긴 후 손을 놓는다. 그러면, 시간차에 의해서 한쪽이 상승하고 있을 때, 다른 쪽이 하강하는 경우가 생긴다. [그림 6]

[그림6] 2개의 진동체

[그림 7]은 이때의 진동파형 A와 B의 모델이다.
B가 A에서 △t 후에 사이를 두고 인장된 거리를 a 로 하면, 스프링 무게와 추의 무게는 같기 때문에 어느 쪽도 식(7)의 고유진동수를 가지지만, B는 △t 만큼 늦게 출발하였기 때문에 식은 각각 다음과 같이 된다.

(식18)

다시 말하면, 식(18)과 같은 진동을 하는 A와 B가 있을 때, B는 A가 최대치에 도달한 후 △t 늦게 최대치에 도달한다.
이 △t 를 시간지연(time delay)이라고 한다.
역으로, B측을 기준으로 해서 보면, A는 B보다 △t 만큼 앞서는 것이 된다. 다시 t'= t - △t 인 B를 기준으로 한 시간 t' 를 식(18)에 적용하면

(식19)

로 된다.
식(18)과 식(19)에서 시간 괄호 내가 +△t 라면 앞서고, -△t 라면 뒤지는 것으로 생각하면 된다.

[그림7] A와 B의 진동 파형

Check Point
2개 이상의 진동계가 있고, 각각의 진동수가 같으며 시간 늦음이나 앞섬이 생기지 않는 진동상태를 동기운동(synchronized motion)을 하고 있다고 하지만, 여기서는 넓은 의미로 생각하여 진동수가 같다고 하는 것만으로 동기되어 있는 것으로 하고, ω를 곱한 △θ = ω△t 를 위상차(phase difference)라 한다.
즉, 동기되어 있는 진동체는 진동수가 같다면 진폭은 달라도 좋다.
예를 들면 5cos2t, 3cos2t 등도 동기되고 있다.
지금까지 설명한 진동수(주기), 진폭(변위, 속도, 가속도), 위상차를 진동진단의 진동 기본량이라고 한다.

진동 기본량의 의미와 사용법

설비는 회전운동이나 왕복운동, 유체의 충돌 또는 부품에 결함이 발생함으로써 항상 진동을 하고 있다. 진동진단에는 진동을 측정하고 해석하는 것에 의해, 그 원인을 명확히 하게 되지만, 앞에 설명한 진동수, 진폭, 위상의 기본량이 어떠한 역할을 하고 있는가를 아래에 나타낸다
  • 진동수
    진동수는 어느 부품이 어떠한 원인으로 진동을 하고 있는가를 찾아내는 데에 중요한 물리량 이다.
    구름베어링, 기어 등에 이상이 있거나, 회전체에 불평형, 커플링에 정렬불량(misalignment) 등이 있을 때의 진동수는 정해져 있기 때문에 진동이 판명되면 대부분의 진동요인이 분명해 진다.
  • 진폭
    진폭은 설비의 고장으로 대체정도를 파악하는데 중요하다.
    진폭에 의해서 부품이나 설비 전체가 어느 정도 심한 상태에 있는가가 경험적으로 결정되어져 있기 때문에, 그것과의 비교에 의해 열화정도를 파악하는 것이 가능하다.
    이 경우 변위, 속도, 가속도 3종류의 진폭에서는 진동 심각도(severity)의 대상이 다르기 때문에, 아래에 설명하는 것을 잘 이해할 필요가 있다.
    1. 변위
    진동에서 변위가 문제되는 것은 부재가 인장이나 압축을 받아서 손상이 될 때, 바꾸어 말하면 정적인 강도를 조사하는 낮은 진동수의 경우이다.
    최근까지 진동의 심각도를 표시하는 기준에는 변위에 의한 것이 많았지만, 현재는 속도에 의한 기준이 일반적으로 되고 있다.
    그 이유는 변위에서는 그 진폭항 D에 진동수의 정보가 들어 있지 않기 때문에 같은 진폭에서도 단위 시간당 그 반복이 많은지 적은지를 알 수 없다.
    이 때문에, 부재가 그 반복수에 의해서 손상되는 경우에 문제가 된다.
    변위로 진동을 평가하는 경우는 진동을 고려하든, 그럴 필요가 없는 낮은 진동수의 범위에 한한다.
    2. 속도

    진동에 의해 발생하는 운동에너지는 진동속도의 제곱에 비례하고, 설비 내부로 확산되어 가는 과정에서 마모를 발생시키기 때문에 진동속도는 설비가 어느 정도 마모하고, 손상되어 가는가를 나타내는 효과적인 양이다. 또, 재료의 피로면에서도 속도는 높게 평가된다.

    [그림 8] 은 재료의 피로특성을 나타내고 있다.
    A점은 응력진폭이 σΑ일 때, NΑ회의 반복수까지 견디고, 또 B점은 NΑ보다 적은 반복수 NΒ인 경우로 이때는 σΑ보다 큰 응력진폭 σΒ에 견디는 것을 나타낸다.

    즉, 재료의 피로는 "응력진폭 (σ) X 반복수 (N)" 에 의존한다는 것을 알 수 있다.

    [그림8] 재료의 피로특성

    속도식의 진폭항은 , 2πf x α즉 진동수 x 변위에 비례하고 있다.
    한편, 재료가 반복응력으로 피로 파괴되는 것은 응력진폭(변위량에 비례)과 반복수(진동수)에 의해서 결정 되어진다.
    여기서 응력진폭은 변위량, 반복수는 진동수라고 할 수 있기 때문에, 이 관계는 변위량을 크게 해서 진동수를 적게 한 경우와 그 반대로 변위량을 작게해서 진동수를 많게 한 경우는 재료에 주어지는 심각도(severity)는 같다고 할 수 있다.
    따라서, 피로를 고려한 진동의 심각도는 변위량 X 진동수로 되고, 이것은 바로 속도 진폭이다.

    예제
    [그림 9] 는 재료와 형상이 완전히 같은 A, B 2개의 편지지보에 F = Fοcos(2πft)로 표현되는 강제력이 가해지고, 각각의 진동수 는 450(Hz), 100(Hz)인 상태를 나타내는 것이다.

    [그림9] 편지지보의 진동

    힘의 최대치 Fο는 같기 때문에 이것에 의해서 2개의 보는 진동변위 δ(㎛)로 되었다고 한다. 결국, 변위에서의 진동 심각도는 같게 된다. 그런데 A쪽이 B보다 단시간에 파손하는 경우가 있다. 이것은 피로조건으로 보아 A쪽이 B보다 4.5배 심각하기 때문이지만 변위에서는 이것을 나타내는 것이 불가능하다.
    그러나, 속도에서는 A는 450 X δ, B는 100 X δ 로 각각 비례하는 값을 가지고, A쪽 진동치가 4.5배 크게 나타내어 진다.
    이와 같이, 진동속도는 마모나 피로에 대한 평가값으로서 매우 뛰어나기 때문에 속도에 의한 기준이 사용되고 있고, 설비상태를 잘 표현하고 있다.
    뿐만 아니라, [그림 8] 에서 피로특성(한계)선 보다 아래인 조건에서도 미소한 손상이 발생 또는 존재하기 때문에 피로 특성선까지를 정상에서 위험까지 몇 개의 영역으로 나누어서, 진동속도 기준을 작성하고 있다.
    회전기계에서는 보통 2㎜/s까지는 정상, 16㎜/s 이상은 위험으로 간주되고 있다.

    3. 가속도

    진동에 의해 발생하는 동하중(dynamic load)은 진동의 평균가속도에 비례한다.
    특히 고속기계에서는 미소한 진동에서도 그것에 의해 발생하는 동하중이 지지부나 부품을 파손하고, 큰 사고를 일으킬 위험성이 있다. 그러한 의미에서, 가속도 값은 설계잘못의 발견 등에도 사용된다.
    더욱이, 가속도는 진동수 영역에서 감도가 좋고, 그 성질 때문에 미소결함에서 발생하는 응력파를 검출하는 데에 특히 뛰어나다.

    3. 위상차

    기계의 2점 사이, 예를 들면 회전체의 양쪽 베어링 사이의 위상차를 보는 것에 의해, 진동수나 진동값과는 다른 중요한 것을 알 수 있다.
    예를 들면, 양쪽 베어링 사이의 정렬(alignment)이 나쁘다면 위상차는 크고, 또 앵커볼트가 손상되어 크랙이 생기거나 느슨하여 지면, 기계 다리부와 기초 사이에는 위상차가 발생한다.
    또, 불평형 수정시에는 축의 기준점에 대한 불평형의 위치를 나타내는 데에 이용된다.

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